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  费氏数列及黄金分割
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  费氏数列及黄金分割
 

自然界中的费氏数


自然界中到处可见费氏数列的踪迹。树技上的分枝数,多数花的瓣数都是费氏数:火鹤 1、百合 3,梅花 5,桔梗常为 8,金盏花 13,…等等。费氏数列也出现在松果上。一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排列:一组呈顺时针旋转,另一组呈反时针;仔细瞧瞧,顺时针螺线的排列数目是 8,反时针方向则为 13,而另一组常出现的数字是「5 及 8」。向日葵也是一样,常见的螺线数目为「34 及 55」,较大的向日葵的螺线数目则为「89 及 144」,更大的甚至还有「144 及 233」。这些全都是费氏数列中相邻两项的数值。

大部份雏菊的螺线数目则是「21 及 34」:




也有些品种雏菊的螺线数目是「13 及 21」:



为什么呢?


植物是以种子和嫩芽开始生长;种子发芽后,很多细根会长出来,并且向地底下生长,而嫩芽则是迎向阳光。


如果用显微镜观察新芽的顶端, 你可以看到所有植物的主要征貌的生长过程 —— 包括叶子、 花瓣、 萼片、 小花(floret)等等。在顶端的中央,有一个圆形的组织称为「顶尖」(apex);而在顶尖的周围,则有微小隆起物一个接一个的形成,这些隆起则称为「原基」(primordium)。


成长时,每一个原基自顶尖移开(顶尖从隆起处向外生长,新的原基则在原地);最后,这些隆起原基会长成叶子、花瓣、萼片等等。每个原基都希望生成的花、蕊、或叶片等等,之后能够获得最大的生长空间。例如叶片希望得到充足的阳光,根部则希望得到充足的水份, 花瓣或花蕊则希望充份地自我展现好吸引昆虫来传粉。 因此,原基与原基隔得相当开,由于较早产生的原基移开的较远,所以你可以从它与顶尖之间的距离,来推断出现的先后次序。另人惊奇的是,我们若依照原基的生成时间顺序描出原基的位置, 便可画出一条卷绕得非常紧的螺线—— 称为 「生成螺线」(generative spiral)。


之前我们提到过的左右旋螺线, 虽然能够明显到让人一眼看出(植物学家称之为「斜列线」,parastichy),但那并不是植物的原基生长模式的实际表征; 就某种程度而言, 这些螺线只是视学上的错觉。人的眼睛之所以能分辨出斜列线,是因为斜列线是由相邻的原基所形成。




晶体学先驱布拉菲兄弟(Auguste and Louise Bravais)发现原基沿生成螺线交错排列的数学规则。他们量测相邻两原基之间的角度,发现量得的各个角度非常相近;这些角的共同值就称为「发散角」(divergence angle)。


想象从原基的中心各画一条直线连到顶尖的中心,然后测量这两条线的夹角。如下图中编号 29 的原基与编号 30 的原基之间的角度,及编号 30 与 31 的原基之间的角度。




他们并且发现发散角往往非常接近 137.5 度(或 222.5 度,如果从另一边量起),也就是 ――「黄金角」。 如果我们将一个圆分成两个弧,而两个弧的长度比为黄金比例,小弧的圆心角我们称之为黄金角。如下图:




由此可知, 圆周与大弧长度的比亦为黄金比例,而大弧的圆心角之弪度量即为 。那么黄金角有多大呢?经过计算:360? – 360?/Φ 大约是 137.5 度。


一九○七年, 数学家易特生(G. Van Iterson)在一条绕得很紧的螺在线,每隔 137.5 度画一个点。结果他发现,由于这些点的排列方式特殊,因此眼睛会看到两组互相交错的螺线——一组是顺时钟旋转,另一组是逆时钟(如下图)。又因为费布纳西数与黄金数密切相关,所以两组螺线的数目是相邻的费布纳西数。究竟是哪些费布纳西数,则要看螺线的旋转有多紧密。